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面试复习——高数篇

gaomingyang
159
2025-06-27

省流版：保研面试/考研复试高等数学问题整理 - 知乎

省流版：计算机保研/考研面试题——数学篇_面试数理题 - CSDN博客

1 高数

1.1 函数与映射

1.1.1 映射

两个非空集合A与B间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素a，B中总有唯一的一个元素b与它对应，就这种对应为从A到B的映射。

点集拓扑：里面离散到连续的过程，映射也是一种变换，核心是体现一种联系，映射它的本质就是一种对应关系。

相关概念：

○ 同态：抽象代数中，同态是两个代数结构（例如群、环、或者向量空间）之间的保持结构不变的映射。

○ 单射：“原不同则像不同”。

○ 满射：陪域任何元素都有至少有一个变量与之对应。

○ 双射：一一映射，又称双射，即同时满足单射和满射。

1.1.2 函数

函数也是一种映射，只不过是实数集到实数集的映射。

初等函数：经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所组成的可用一个式子表示的函数。

五个最基本初等函数：指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、反三角函数

性质：有界，单调，奇偶，周期

1.1.3 奇奇怪怪的函数

1.1.3.1 黎曼ζ函数
R\left( x \right) =\left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{q}\ ,if\ x=\frac{p}{q}\left( p,q\in N_+,\frac{p}{q}\text{为既约真分数} \right)\\ 0\ ,if\ x=0,1\left( 0,1\text{为无理数} \right)\\ \end{array} \right.

○ 黎曼函数在区间[0,1]内的极限处处为0

○ 黎曼函数区间[0,1]在内的无理点处处连续，有理点处处不连续

○ 黎曼函数在区间[0,1]上是黎曼可积的（实际上，黎曼函数在上的积分为0）

黎曼ζ函数.png

1.1.3.2 狄利克雷函数
D\left( x \right) =\left\{ \begin{array}{l} 1\ ,if\ x=\text{有理数}\\ 0\ ,if\ x=\text{无理数}\\ \end{array} \right.

特点：

①处处不连续

②处处不可导

③在任何区间内黎曼不可积

④函数是可测函数

⑤在单位区间[0,1]上勒贝格可积，且勒贝格积分值为0（且任意区间<a,b>以及R上甚至任何R的可测子集（区间不论开闭和是否有限）上的勒贝格积分值为0 ）

1.1.3.3 魏尔斯特拉斯函数

魏尔斯特拉斯函数（Weierstrass function）是一类处处连续而处处不可导的实值函数。

魏尔斯特拉斯函数.png

魏尔斯特拉斯函数是一个著名的数学反例。在此之前，数学家认为除了少数特殊点以外，连续函数在每一点处都可导。魏尔斯特拉斯函数是第一个被发现的处处连续而处处不可导的函数，说明了所谓的“病态”函数的存在性。

1.2 极限与连续

1.2.1 极限

定义：

设函数f(x)在点x_0的某一去心邻域内有定义，如果存在常数a，对于任意给定的正数\varepsilon，都 \exists \delta >0，使不等式\left| f\left( x \right) -a \right|<\varepsilon在\left| x-x_0 \right|\in \left( 0,\delta \right)时恒成立，那么常数a就叫做函数f(x)当x\rightarrow x_0时的极限，记作\underset{x\rightarrow 0}{\lim}f\left( x \right) =a

如果函数f(x)当x\rightarrow x_0时不以a为极限，则存在某个正数\varepsilon，对于任何正数\varepsilon，当0<\left| x-x_0 \right|<\delta时，\left| f\left( x \right) -a \right|\ge \varepsilon

解释：当x\rightarrow x_0时f(x)收敛于a，我们一定能证明x足够接近x_0时，f(x)与极限a的差距小于任意小的指定误差。 而当x\rightarrow x_0时f(x)不收敛于a，我们就能证明无论x与x_0的距离有多近，f(x)与a的差距都无法小于指定的某个误差

数学中的函数极限，就是对函数取到无穷远处和无限接近某一点的趋势的描述。

极限可以用来描述一个序列的指标愈来愈大时，数列中元素的性质变化的趋势，也可以描述函数的自变量接近某一个值的时候，相对应的函数值变化的趋势。

无穷大，无穷小也存在比较，算法渐进复杂度类似。

1.2.2 连续

如果把函数的图像比作人生要走的路，间断点处往往是个陷阱，有时根本没有路，而有时又通往无尽的深渊，偶尔还无限的来会振荡，总之不那么好过。而连续点附近虽避免不了波折，但总归会平稳落地，可以继续前行。大抵如此。

分析很多建立在连续和内容上，连续对立应该是离散而不是间断，间断只是连续的微小细节。

定义：

设函数f(x)在内U\left( x_0,\delta_0 \right)有定义，若x_0不是f(x)的连续点，则称f(x)在x_0间断（或不连续），并称x_0为f(x)的一个间断点 (或不连续点)。

1.2.3.1 第一类间断点与第二类间断点

用左右极限来刻画间断点，则有以下几种情况：

1. 若f\left( x_{0}^{+} \right)和f\left( x_{0}^{-} \right)都存在，则称x_0为f(x)的第一类间断点。此时若f\left( x_{0}^{+} \right) =f\left( x_{0}^{-} \right) \ne f\left( x_0 \right)，则称它为可去间断点，否则称它为跳跃间断点。

2. 若f\left( x_{0}^{+} \right)和f\left( x_{0}^{-} \right)至少有一个不存在，则称x_0为f(x)的第二类间断点。

初等函数在其定义域内是连续的。

连续其实也有等级，如函数连续，区间连续，一致连续，绝对连续，Lipschitz连续。

1.3 导数和微分

1.3.1 函数零点求法

1. 解方程：通过解方程f(x)=0得到零点

2. 数形结合：转化成两个函数图像的交点问题

3. 利用零点存在定理和函数单调性

零点存在定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y= f(x)在区间(a,b)内有零点，即至少存在一个c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。

二分法求函数零点

牛顿法求函数零点

1.3.2 连续、可导、可微

导数的几何意义——切线的斜率

微分的几何意义——切线纵坐标的增量

1.3.2.1 一元

一元函数中可导与可微等价

dy=A\varDelta x=f'\left( x_0 \right) \varDelta x

可导：\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{f\left( x_0+\varDelta x \right) -f\left( x_0 \right)}{\varDelta x}存在，则y=f(x)在x_0处可导

函数在一点的导数是因变量在点x_0处的变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度。

一元连续、可导、可微.png

○ 可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导

○ 可微与连续的关系：可微与可导是一样的

○ 可积与连续的关系：可积不一定连续，连续必定可积

○ 可导与可积的关系：可导一般可积，可积推不出一定可导

1.3.2.2 多元

● 可(偏)导不一定连续，连续不一定可(偏)导

多元：dz=f_x\left( x,y \right) dx+f_y\left( x,y \right) dy

关系：多元连续、可导、可微.png

1.3.3 微分中值定理

平均变化率和瞬时变化率一致

参考：如何理解三大微分中值定理？ - 知乎

拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广、柯西中值定理是拉格尔朗日中值定理的推广。

1.3.3.1 费马引理

设函数f(x)在点x_0的某邻域U(x_0)内有定义，并且在x_0处可导，如果对任意的x\in U\left( x_0 \right)，有f\left( x \right) \le f\left( x_0 \right)或f\left( x \right) \ge f\left( x_0 \right)，那么f'(x_0)=0。

费马引理的一个推论是，函数f在定义域A内的最大值和最小值只能在边界上，不可导的点，或驻点取得。

证明函数的每一个极值都是驻点（函数的导数在该点为零），该定理给出了一个求出可微函数的最大值和最小值的方法。因此，利用费马引理，求函数的极值的问题便化为解方程的问题。

1.3.3.2 罗尔中值定理

平均变化率和瞬时变化率一致

如果函数f(x)满足：在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在(a,b)内至少有一点\xi \left( a<\xi <b \right)，使得f'(\xi)=0.

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1.3.3.3 拉格朗日中值定理

平均变化率和瞬时变化率一致

如果函数f(x)满足：在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少有一点\xi \left( a<\xi <b \right)，使等式f\left( b \right) -f\left( a \right) =f'\left( \xi \right) \left( b-a \right)成立。

等价：

f'\left( \xi \right) =\frac{f\left( b \right) -f\left( a \right)}{b-a}

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1.3.3.4 柯西中值定理

平均变化率和瞬时变化率一致

如果函数f(x)及F(x)满足：在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，对任一x\in \left( a,b \right)，F'\left( x \right) \ne 0，那么在(a,b)内至少有一点\xi，使等式

\frac{f\left( b \right) -f\left( a \right)}{F\left( b \right) -F\left( a \right)}=\frac{f'\left( \xi \right)}{F'\left( \xi \right)}

成立。

柯西中值定理.png

1.3.4 泰勒公式（泰勒展开）

泰勒公式本质上是把所有的运算，包括开方，三角函数等非多项式运算转化成多项式相加运算。

这样带来了一个巨大的优势，我们知道多项式运算里所有的运算符可被转化成加法，因此所有的运算就被转化成了加法。当然，会有精度损失。

这样，就可以利用计算机来进行处理了，因为本质上，计算机只能进行加法运算。

泰勒公式的初衷是用多项式来近似表示函数在某点周围的情况。

泰勒公式，是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。 如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。

1.3.4.1 定义

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1.3.4.2 常见余项

皮亚诺余项：R_n\left( x \right) =o\left( \left[ \left( x-x_0 \right) \right] ^n \right)，这里只需要n阶导数存在。

拉格朗日余项：R_n\left( x \right) =\frac{f^{\left( n+1 \right)}}{\left( n+1 \right) !}\left( x-x_0 \right) ^{\left( n+1 \right)}，其中\theta \in \left( x_0,x \right).

1.3.4.3 余项估计

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1.3.4.4 麦克劳林公式

麦克劳林公式是在x=0点处展开的泰勒公式

1.3.4.5 几何意义

泰勒公式的几何意义是利用多项式函数来逼近原函数，由于多项式函数可以任意次求导，易于计算，且便于求解极值或者判断函数的性质，因此可以通过泰勒公式获取函数的信息，同时，对于这种近似，必须提供误差分析，来提供近似的可靠性。

1.3.5 函数的凹凸性

○ 驻点：一阶导数为0的点

○ 拐点：二阶导数为0的点

○ 凸函数：f\left( \frac{x_1+x_2}{2} \right) \ge \frac{f\left( x_1 \right) +f\left( x_2 \right)}{2}，x_1,x_2为区间上任意两点，开区间上满足二阶导数恒小于0。证明：通过拉格朗日中值定理。

1.3.6 什么是解析？什么是奇点？

1.3.6.1 解析

函数在某点处解析指函数在该点及其领邻域内处处可导。（如果一个函数f(x)不仅在某点x_0处可导，而且在x_0点的某个邻域内的任一点都可导，则称函数f(x)在x_0点解析。

如果函数f(x)在区域D内任一点解析，则称函数f(x)在区域D内解析，用X来表示Y的某种函数关系，称为该函数的解析式。

注意：

函数f(x)在区域D内解析与在区域D内可导是等价的。

函数f(x)在某一点处解析与在该点处可导是不等价的。函数在某点解析意味着函数在该点及其某个邻域内处处可导；而函数在某点可导，在该点邻域内函数可能解析，也可能不解析。

解析函数的导数仍然是解析的。

1.3.6.2 奇点

未定义的点。 如函数f\left( x \right) =\frac{1}{x}在x=0的点，是一个奇点。

1.4 积分

1.4.1 积分定理

没意义，简单看看，就是微元法，分割，近似求和，取极限。

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定积分如何求（换元积分法、分部积分法）

还有一个变换算法

1.4.2 积分中值定理

若f,g上黎曼可积且f(x)在[a,b]上单调，则存在[a,b]上的点\xi，使

\int_a^b{f\left( x \right) g\left( x \right)}dx=f\left( a \right) \int_a^{\xi}{g\left( x \right) dx}+f\left( b \right) \int_{\xi}^b{g\left( x \right) dx}

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1.4.3 微积分基本定理

参考：积分关系定理（格林公式、高斯公式、斯托克斯公式） - 知乎

1.4.3.1 微积分第一基本定理

给定任一连续函数，可以（利用积分）构造出该函数的反导函数。这一部分定理的重要之处在于它保证了连续函数的反导函数的存在性。

设a,b\in \mathbb{R}，f:\left[ a,b \right] \rightarrow \mathbb{R}为黎曼可积函数，对所有的x\in[a,b]，定义函数F如下：

F\left( x \right) =\int_a^x{f\left( t \right) dt}

则F在闭区间[a,b]连续。若f在点x处连续，则F在x处可微，且F'(x)=f(x).

若f连续，则F可微。

1.4.3.2 微积分第二基本定理（牛顿-莱布尼兹公式）

表明某函数的定积分可以用该函数的任意一个反导函数来计算。这一部分是微积分或数学分析中相当关键且应用很广的一个定理，因为它大大简化了定积分的计算。

假设有两函数，f,F:\left[ a,b \right] \rightarrow \mathbb{R}，若满足条件：F'\left( x \right) =f\left( x \right) ,\forall x\in \left( a,b \right)（即F是f的一个原函数），f是黎曼可积函数，则有：

\int_a^b{f\left( t \right) dt}=F\left( b \right) -F\left( a \right)

常简记为

\int_a^b{f\left( t \right) dt}=F\left( b \right) -F\left( a \right) =F\left( x \right) \mid_{a}^{b}

1.4.4 黎曼积分

对于一个函数f，如果在闭区间[a,b]上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数f的黎曼和都会趋向于一个确定的值S，那么f在闭区间[a,b]上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限S。这时候称函数f为黎曼可积的。将f在闭区间[a,b]上的黎曼积分记

\int_a^b{f\left( x \right) dx}

1.4.5 梯度、散度、旋度

参考：基础篇5:几个重要的积分定理 - 知乎

1.4.5.1 方向导数

方向导数：在函数定义域内的点，对某一方向求导得到的导数。

方向导数：在某一个点处沿方向，函数对距离的变化率。

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1.4.5.2 梯度：一个向量

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梯度向量的几何意义：函数变化增加最快的地方。沿着梯度向量的方向，更容易找到函数的最大值。反过来说，沿着梯度向量相反的方向，更容易找到函数的最小值。

1.4.5.3 散度：一个数，对应内积

散度（divergence）可用于表征空间各点矢量场发散的强弱程度，物理上，散度的意义是场的有源性。当div\ F>0，表示该点有散发通量的正源（发散源）；当div\ F<0表示该点有吸收通量的负源（洞或汇）；当div\ F=0，表示该点无源。

div\ F:=\nabla \cdot F=\frac{\partial f_x}{\partial x}+\frac{\partial F_x}{\partial y}+\frac{\partial F_x}{\partial z}
1.4.5.4 旋度：一个向量，对应外积

旋度是向量分析中的一个向量算子，可以表示三维向量场对某一点附近的微元造成的旋转程度。这个向量提供了向量场在这一点的旋转性质。旋度向量的方向表示向量场在这一点附近旋转度最大的环量的旋转轴，它和向量旋转的方向满足右手定则。旋度向量的大小则是绕着这个旋转轴旋转的环量与旋转路径围成的面元的面积之比。

\nabla \times v=\left| \begin{matrix} \hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}& \frac{\partial}{\partial z}\\ v_x& v_y& v_z\\ \end{matrix} \right|

1.4.6 几个重要的积分定理

1.4.6.1 梯度定理（Gradient Theorem）

梯度定理也称线积分定理，该定理表明标量的梯度\nabla s沿某一曲线的积分等于该标量在曲线两端的值的差。如下图中空间光滑曲线C表述为r\left( t \right) =r\left[ x\left( t \right) ,y\left( t \right) ,z\left( t \right) \right] ,a\le t\le b，曲线上有两个点r(a)和r(b)，在这两点处的标量值为s(r(a))和s(r(b))，则根据梯度定理有

\int_C{\nabla s\cdot dr}=s\left( r\left( b \right) \right) -s\left( r\left( a \right) \right)

梯度定理表明梯度场的曲线积分与积分路径无关。这也定义了物理学中的保守力或守恒力（conservative force），守恒力做功与路径无关，而是取决于做功的起始和终止点，比如重力做功。

梯度定理.png

1.4.6.2 格林定理（Green’ s Theorem）

格林定理建立了二维空间中沿某一封闭曲线C的线积分与以C为边界的平面区域R上的双重积分之间的联系。设v为区域R上的矢量场，dr和dS分别为曲线和平面微元，则采用矢量形式的格林定理为：

\oint_C{v\cdot dr}=\iint_R{\left[ \nabla \times v \right] \cdot dS}

当v表示速度矢量场时，上式的物理意义可以理解为速度矢量在封闭曲线C上的线积分等于流场的旋度在区域R上的面积分（积分方向遵循右手定则）。

格林定理.png

1.5 解析几何

1.5.1 向量的内积、外积、混合积

1.5.1.1 内积

内积(数量积/点乘/点积)：得到的是一个数

\vec{a}\cdot \vec{b}=\left| \vec{a} \right|\left| \vec{b} \right|\cos \theta

需要注意的是，点积的几何解释通常只适用于\mathbb{R}^n,n\le 3。在高维空间，其他的域或模中，点积只有一个定义：

\left< \vec{a},\vec{b} \right> =\sum_{i=1}^n{a_ib_i}
1.5.1.2 外积

外积(向量积/叉乘/叉积)：得到的是一个向量

向量\vec{a}与\vec{b}的外积\vec{a}\times \vec{b}是一个向量，其长度等于\left| \vec{a}\times \vec{b} \right|=\left| \vec{a} \right|\left| \vec{b} \right|\sin \angle \left( \vec{a},\vec{b} \right)，其方向正交于\vec{a}与\vec{b}。并且，(\vec{a},\vec{b},\vec{a}\times \vec{b})构成右手系。

特别地，0\times\vec{a}=\vec{a}\times0=0。此外，对任意向量\vec{a}，\vec{a}\times\vec{a}=0。

\vec{a}\times \vec{b}=\left| \begin{matrix} i& j& k\\ x_1& y_1& z_1\\ x_2& y_2& z_2\\ \end{matrix} \right|=\left( y_1z_2-y_2z_1 \right) i-\left( x_1z_2-x_2z_1 \right) j+\left( x_1y_2-x_2y_1 \right) k
1.5.1.3 混合积

混合积：得到的是一个数

标量三重积是三个向量中的一个和另两个向量的叉积相乘得到点积，其结果是个标量。

几何上，由三个向量定义的平行六面体，其体积等于三个标量标量三重积的绝对值：

V=\left| \vec{a}\cdot \left( \vec{b}\times \vec{c} \right) \right|=\begin{Vmatrix} a_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\\ c_1& c_2& c_3\\ \end{Vmatrix}

1.6 级数

级数理论是分析学的一个分支；它与另一个分支微积分学一起作为基础知识和工具出现在其余各分支中。二者共同以极限为基本工具，分别从离散与连续两个方面，结合起来研究分析学的对象，即变量之间的依赖关系──函数。

级数是研究函数的一个重要工具，在理论上和实际应用中都处于重要地位，这是因为：一方面能借助级数表示许多常用的非初等函数，微分方程的解就常用级数表示；另一方面又可将函数表为级数，从而借助级数去研究函数，例如用幂级数研究非初等函数，以及进行近似计算等。

1.6.1 定义

设\left\{ a_n \right\}是一个序列，称\sum_{k=1}^n{a_k}为\{a_n\}的一个部分和，定义级数\sum_{k=1}^{\infty}{a_n:=\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\sum_{k=1}^n{a_n}}，简记作\sum a_n。若\left\{ \sum_{k=1}^n{a_n} \right\}收敛，则称级数\sum{a_n}收敛，否则称\sum{a_n}发散。

（级数收敛的Cauchy准则）级数\sum{a_n}收敛当且仅当

\forall \varepsilon >0,\exists N,\forall m>n>N,\left| \sum_{i=n}^m{a_i} \right|<\varepsilon

Remark取m=n即可得，若\sum{a_n}收敛，则\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}a_n=0.

1.6.2 类别

1.6.2.1 几何级数

几何级数（或等比级数）是指通项为等比数列的级数，比如：

1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots =\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{2^n}}=2

一般来说，几何级数\sum_{n=0}^{\infty}z^n收敛当且仅当|z|<1。

1.6.2.2 调和级数

调和级数是指通项为\frac{1}{n}的级数：

1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\cdots =\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n}}

对于实数值的p，当p>1时收敛，当p\le 1时发散。这可以由积分比较审敛法得出。

函数\zeta :p\rightarrow U_p是黎曼\zeta函数在实轴大于1的部分的限制，关于黎曼\zeta函数有著名的黎曼猜想。特别地，当p=1时，p-级数即为调和级数。

1.6.2.5 裂项级数
\sum_{n=1}^{\infty}{\left( b_n-b_{n+1} \right)}

收敛当且仅当数列b_n收敛到某个极限L，并且这时级数的和是{\displaystyle b_{1}-L}

1.6.2.5 泰勒级数

泰勒级数是关于一个光滑函数f在一点a附近取值的级数。泰勒函数由函数在点a的各阶导数值构成，具体形式为：

\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{f^{\left( n \right)}\left( a \right)}{n!}\left( x-a \right) ^n}

这是一个幂级数。如果它在a附近收敛，那么就称函数f在点a上是解析的。

1.6.2.6 交错级数

具有以下形式的级数

\sum_{n=0}^{\infty}{\left( -1 \right) ^na_n}

其中所有的a_n非负，被称作交错级数。交错级数的收敛通常要借助莱布尼茨判别法。

1.6.2.7 幂级数

形同\sum{a_n\left( x-x_0 \right) ^n}的函数项无穷级数称为x-x_0的幂级数，它的收敛与否和系数a_n有关。

1.6.3 傅里叶级数（傅里叶展开）

1.6.3.1 傅里叶展开

S_N(x)是周期为P的周期函数，则：

S_N\left( x \right) =\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^N{\left( a_n\cos \frac{2\pi nx}{P}+b_n\sin \frac{2\pi nx}{P} \right)}

其中，a_n=\frac{2}{P}\int_{x_0}^{x_0+P}{s\left( x \right) \cdot \cos \left( \frac{2\pi nx}{P} \right) dx},b_n=\frac{2}{P}\int_{x_0}^{x_0+P}{s\left( x \right) \cdot \sin \left( \frac{2\pi nx}{P} \right) dx}.

1.6.3.2 意义

任意周期信号可以通过傅里叶展开分解为直流分量和一组不同幅值、频率、相位的正弦波，即用三角函数之和近似表示复杂的周期函数。

1.6.3.3 傅里叶变换

傅里叶变换是一种线性积分变换，用于信号在时域（或空域）和频域之间的变换。

傅立叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。

F\left( \omega \right) =\mathcal{F}\left[ f\left( t \right) \right] =\int_{-\infty}^{\infty}{f\left( t \right) e^{-i\omega t}dt}

傅里叶变换认为一个周期函数（信号）包含多个频率分量，任意函数（信号）f(t)可通过多个周期函数（基函数）相加而合成。

从物理角度理解傅里叶变换是以一组特殊的函数（三角函数）为正交基，对原函数进行线性变换，物理意义便是原函数在各组基函数的投影。

1.6.3.4 傅里叶级数和傅里叶变换的关系

傅里叶级数仅适用于周期信号，傅里叶变换可以视作傅里叶级数的延伸，可以用于分析非周期信号的频谱特性。

周期信号才有傅里叶级数，非周期信号才有傅里叶变换，傅里叶变换是由傅里叶级数将周期拓展到无穷而证明来的，傅里叶级数是对应谐波的幅度，而傅里叶变换是一个谱密度的概念。

1.7 欧拉公式

欧拉公式：

e^{i\pi}=\cos x+i\sin x

其中，e为自然常数，i为虚数，x则是以弧度为单位的参数（变量）。

参考： 数学界最著名、最伟大、最美丽的公式之一——欧拉公式 - 知乎


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